פתור את 75x^2+200x-400

$$75 x ^ { 2 } + 200 x - 400$$

פרק לגורמים

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 25.

$$25\left(3x^{2}+8x-16\right)$$

שקול את 3x^{2}+8x-16. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx-16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=8 ab=3\left(-16\right)=-48$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 8.

$$a=-4 b=12$$

שכתב את ‎3x^{2}+8x-16 כ- ‎\left(3x^{2}-4x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(12x-16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$75x^{2}+200x-400=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 75\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

‎200 בריבוע.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 75\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎75.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-300\left(-400\right)}}{2\times 75}$$

הכפל את ‎-300 ב- ‎-400.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+120000}}{2\times 75}$$

הוסף את ‎40000 ל- ‎120000.

$$x=\frac{-200±\sqrt{160000}}{2\times 75}$$

הוצא את השורש הריבועי של 160000.

$$x=\frac{-200±400}{2\times 75}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎75.

$$x=\frac{-200±400}{150}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-200±400}{150} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-200 ל- ‎400.

$$x=\frac{200}{150}$$

צמצם את השבר ‎\frac{200}{150} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 50.

$$x=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-200±400}{150} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎400 מ- ‎-200.

$$x=-\frac{600}{150}$$

חלק את ‎-600 ב- ‎150.

$$x=-4$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎-4 במקום x_{2}.

$$75x^{2}+200x-400=75\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$75x^{2}+200x-400=75\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+4\right)$$

החסר את x מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$75x^{2}+200x-400=75\times \frac{3x-4}{3}\left(x+4\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎75 ו- ‎3.

$$75x^{2}+200x-400=25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$

הערך

$$25\left(3x-4\right)\left(x+4\right)$$