פתור את 7y^2-4y-3

$$7 y ^ { 2 } - 4 y - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 7y^{2}+ay+by-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=7\left(-3\right)=-21$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -21.

$$1,-21 3,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-7 b=3$$

שכתב את ‎7y^{2}-4y-3 כ- ‎\left(7y^{2}-7y\right)+\left(3y-3\right).

$$\left(7y^{2}-7y\right)+\left(3y-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7y בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$7y\left(y-1\right)+3\left(y-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$7y^{2}-4y-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

‎-4 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎-3.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎84.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 100.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±10}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$y=\frac{4±10}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$y=\frac{4±10}{14}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{4±10}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎10.

$$y=\frac{14}{14}$$

חלק את ‎14 ב- ‎14.

$$y=1$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{4±10}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10 מ- ‎4.

$$y=-\frac{6}{14}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{14} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{3}{7}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{7} במקום x_{2}.

$$7y^{2}-4y-3=7\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{3}{7}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$7y^{2}-4y-3=7\left(y-1\right)\left(y+\frac{3}{7}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{7} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$7y^{2}-4y-3=7\left(y-1\right)\times \frac{7y+3}{7}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎7 ב- ‎7 ו- ‎7.

$$7y^{2}-4y-3=\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$

הערך

$$\left(y-1\right)\left(7y+3\right)$$