פתור את 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x-15y-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$7x-15y=2$$

הוסף ‎15y לשני אגפי המשוואה.

$$7x=15y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{15y+2}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

הוסף את ‎\frac{15y}{7} ל- ‎2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

החסר ‎\frac{2}{7} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{29}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{19}{29}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{29} במקום y ב- ‎x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

הכפל את ‎\frac{15}{7} ב- ‎\frac{19}{29} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

הוסף את ‎\frac{2}{7} ל- ‎\frac{285}{203} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{49}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

פשט.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

החסר את ‎7x+14y=21 מ- ‎7x-15y-2=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

הוסף את ‎7x ל- ‎-7x. האיברים ‎7x ו- ‎-7x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-15y-14y-2=-21$$

הוסף את ‎-15y ל- ‎-14y.

$$-29y-2=-21$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-29y=-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-29.

$$y=\frac{19}{29}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{29} במקום y ב- ‎x+2y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

החסר ‎\frac{38}{29} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{49}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$