פתור את 7x^2-4x-11=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x - 11 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 7x^{2}+ax+bx-11. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=7\left(-11\right)=-77$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -77.

$$1,-77 7,-11$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-77=-76 7-11=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-11 b=7$$

שכתב את ‎7x^{2}-4x-11 כ- ‎\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right).

$$\left(7x^{2}-11x\right)+\left(7x-11\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 7x^{2}-11x.

$$x\left(7x-11\right)+7x-11$$

הוצא את האיבר המשותף 7x-11 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x-11\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 7x-11=0 ו- x+1=0.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- -11 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\left(-11\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎-11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+308}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎308.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{324}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±18}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±18}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{4±18}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±18}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎18.

$$x=\frac{22}{14}$$

צמצם את השבר ‎\frac{22}{14} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{11}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±18}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎4.

$$x=-\frac{14}{14}$$

חלק את ‎-14 ב- ‎14.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-4x-11=0$$

הוסף ‎11 לשני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

החסרת -11 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

החסר ‎-11 מ- ‎0.

$$7x^{2}-4x=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=\frac{11}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=\frac{11}{7}$$

חלק את ‎-\frac{4}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{11}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{11}{7}+\frac{4}{49}$$

הוסף את ‎\frac{11}{7} ל- ‎\frac{4}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=\frac{81}{49}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=\frac{81}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{49}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{9}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{9}{7}$$

הוסף ‎\frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{11}{7} x=-1$$