פתור את 7x^2-4x+6=0

$$7 x ^ { 2 } - 4 x + 6 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7}\approx 0.285714286+0.880630572i$$

$$x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}\approx 0.285714286-0.880630572i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}-4x+6=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- 6 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 7\times 6}}{2\times 7}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 7\times 6}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-28\times 6}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-168}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-168.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-152}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של -152.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{38}i}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎2i\sqrt{38}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{38}i}{14}$$

חלק את ‎4+2i\sqrt{38} ב- ‎14.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{38}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{38} מ- ‎4.

$$x=\frac{-2\sqrt{38}i+4}{14}$$

חלק את ‎4-2i\sqrt{38} ב- ‎14.

$$x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7} x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-4x+6=0$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}-4x+6-6=-6$$

החסרת 6 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}-4x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}-4x}{7}=-\frac{6}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x=-\frac{6}{7}$$

חלק את ‎-\frac{4}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{6}{7}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{6}{7}+\frac{4}{49}$$

הוסף את ‎-\frac{6}{7} ל- ‎\frac{4}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{38}{49}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{38}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{38}{49}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{38}i}{7} x-\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{38}i}{7}$$

הוסף ‎\frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2+\sqrt{38}i}{7} x=\frac{-\sqrt{38}i+2}{7}$$