פתור את 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 7x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -32.

$$a=-35 b=3$$

שכתב את ‎7x^{2}-32x-15 כ- ‎\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-5=0 ו- 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- -32 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

‎-32 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-32 הוא ‎32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{32±38}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎32 ל- ‎38.

$$x=\frac{70}{14}$$

חלק את ‎70 ב- ‎14.

$$x=5$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{32±38}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎38 מ- ‎32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-6}{14} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$7x^{2}-32x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

חלק את ‎-\frac{32}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{16}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{16}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{16}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

הוסף את ‎\frac{15}{7} ל- ‎\frac{256}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

פרק x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

פשט.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

הוסף ‎\frac{16}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$