פתור את 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0.857142857+0.638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0.857142857-0.638876565i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- 8 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

חלק את ‎12+4i\sqrt{5} ב- ‎14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{5} מ- ‎12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

חלק את ‎12-4i\sqrt{5} ב- ‎14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

החסרת 8 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

חלק את ‎-\frac{12}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{6}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{6}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{6}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

הוסף את ‎-\frac{8}{7} ל- ‎\frac{36}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

פרק x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

פשט.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

הוסף ‎\frac{6}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$