פתור את 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0.357142857+0.765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0.357142857-0.765986092i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- 5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎-140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{115} מ- ‎-5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

חלק את ‎\frac{5}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{14}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{14} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{14} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{7} ל- ‎\frac{25}{196} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

החסר ‎\frac{5}{14} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$