פתור את 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

חלק את ‎-4+2i\sqrt{3} ב- ‎14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{3} מ- ‎-4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

חלק את ‎-4-2i\sqrt{3} ב- ‎14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

חלק את ‎\frac{4}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{2}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{2}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{2}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{7} ל- ‎\frac{4}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

פרק את ‎x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

פשט.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

החסר ‎\frac{2}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$