פתור את 7x^2+2x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7}\approx -0.142857143+0.349927106i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}\approx -0.142857143-0.349927106i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}+2x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-28.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-24}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של -24.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{6}i}{14}$$

חלק את ‎-2+2i\sqrt{6} ב- ‎14.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{6} מ- ‎-2.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i-2}{14}$$

חלק את ‎-2-2i\sqrt{6} ב- ‎14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7} x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}+2x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}+2x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=-\frac{1}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=-\frac{1}{7}$$

חלק את ‎\frac{2}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{7} ל- ‎\frac{1}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=-\frac{6}{49}$$

פרק x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=-\frac{6}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{49}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{6}i}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{6}i}{7}$$

החסר ‎\frac{1}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7} x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$