פתור את 7k^2+18k-27=0

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

פתור עבור k

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1.061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3.633096675$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- 18 במקום b, וב- -27 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

‎18 בריבוע.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎-27.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎324 ל- ‎756.

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1080.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-18 ל- ‎6\sqrt{30}.

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

חלק את ‎-18+6\sqrt{30} ב- ‎14.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6\sqrt{30} מ- ‎-18.

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

חלק את ‎-18-6\sqrt{30} ב- ‎14.

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

הוסף ‎27 לשני אגפי המשוואה.

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

החסרת -27 מעצמו נותנת 0.

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

החסר ‎-27 מ- ‎0.

$$7k^{2}+18k=27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

חלק את ‎\frac{18}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{9}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{9}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{9}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

הוסף את ‎\frac{27}{7} ל- ‎\frac{81}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

פרק k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

פשט.

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

החסר ‎\frac{9}{7} משני אגפי המשוואה.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$