פתור את 7x^2+12x+4=0

$$7 { x }^{ 2 } +12x+4 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7}\approx -0.453081839$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}\approx -1.261203875$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$7x^{2}+12x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 7 במקום a, ב- 12 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

‎12 בריבוע.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 7\times 4}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎7.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-28\times 4}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎-28 ב- ‎4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-112}}{2\times 7}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-112.

$$x=\frac{-12±\sqrt{32}}{2\times 7}$$

הוצא את השורש הריבועי של 32.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{2\times 7}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{14}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{14} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-12 ל- ‎4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-12}{14}$$

חלק את ‎-12+4\sqrt{2} ב- ‎14.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-12±4\sqrt{2}}{14} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{2} מ- ‎-12.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-12}{14}$$

חלק את ‎-12-4\sqrt{2} ב- ‎14.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7} x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+12x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$7x^{2}+12x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$7x^{2}+12x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$\frac{7x^{2}+12x}{7}=-\frac{4}{7}$$

חילוק ב- ‎7 מבטל את ההכפלה ב- ‎7.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x=-\frac{4}{7}$$

חלק את ‎\frac{12}{7}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{6}{7}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{6}{7} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(\frac{6}{7}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{6}{7} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{4}{7}+\frac{36}{49}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{7} ל- ‎\frac{36}{49} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{8}{49}$$

פרק x^{2}+\frac{12}{7}x+\frac{36}{49} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}=\frac{8}{49}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{49}}$$

פשט.

$$x+\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{2}}{7} x+\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{2}}{7}$$

החסר ‎\frac{6}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2\sqrt{2}-6}{7} x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{7}$$