פתור את 64x^3+729=0

$$64 x ^ { 3 } + 729 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-9\sqrt{3}i+9}{8}\approx 1.125-1.948557159i$$

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$x=\frac{9+9\sqrt{3}i}{8}\approx 1.125+1.948557159i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 729 ו- q מחלק את המקדם המוביל 64. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{729}{64},±\frac{729}{32},±\frac{729}{16},±\frac{729}{8},±\frac{729}{4},±\frac{729}{2},±729,±\frac{243}{64},±\frac{243}{32},±\frac{243}{16},±\frac{243}{8},±\frac{243}{4},±\frac{243}{2},±243,±\frac{81}{64},±\frac{81}{32},±\frac{81}{16},±\frac{81}{8},±\frac{81}{4},±\frac{81}{2},±81,±\frac{27}{64},±\frac{27}{32},±\frac{27}{16},±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{64},±\frac{9}{32},±\frac{9}{16},±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{64},±\frac{3}{32},±\frac{3}{16},±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{64},±\frac{1}{32},±\frac{1}{16},±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-\frac{9}{4}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎64x^{3}+729 ב- ‎4\left(x+\frac{9}{4}\right)=4x+9 כדי לקבל ‎16x^{2}-36x+81. פתור את המשוואה שבה התוצאה שווה ל-0.

$$16x^{2}-36x+81=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎16 ב- a, את ‎-36 ב- b ואת ‎81 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 81}}{2\times 16}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{36±\sqrt{-3888}}{32}$$

פתור את המשוואה ‎16x^{2}-36x+81=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-9i\sqrt{3}+9}{8} x=\frac{9+9i\sqrt{3}}{8}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-\frac{9}{4} x=\frac{-9i\sqrt{3}+9}{8} x=\frac{9+9i\sqrt{3}}{8}$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 729 ו- q מחלק את המקדם המוביל 64. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{729}{64},±\frac{729}{32},±\frac{729}{16},±\frac{729}{8},±\frac{729}{4},±\frac{729}{2},±729,±\frac{243}{64},±\frac{243}{32},±\frac{243}{16},±\frac{243}{8},±\frac{243}{4},±\frac{243}{2},±243,±\frac{81}{64},±\frac{81}{32},±\frac{81}{16},±\frac{81}{8},±\frac{81}{4},±\frac{81}{2},±81,±\frac{27}{64},±\frac{27}{32},±\frac{27}{16},±\frac{27}{8},±\frac{27}{4},±\frac{27}{2},±27,±\frac{9}{64},±\frac{9}{32},±\frac{9}{16},±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{64},±\frac{3}{32},±\frac{3}{16},±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{64},±\frac{1}{32},±\frac{1}{16},±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-\frac{9}{4}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎64x^{3}+729 ב- ‎4\left(x+\frac{9}{4}\right)=4x+9 כדי לקבל ‎16x^{2}-36x+81. פתור את המשוואה שבה התוצאה שווה ל-0.

$$16x^{2}-36x+81=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎16 ב- a, את ‎-36 ב- b ואת ‎81 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 81}}{2\times 16}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{36±\sqrt{-3888}}{32}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-\frac{9}{4}$$