פתור את 64x^2-16x+1

$$64 x ^ { 2 } - 16 x + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(8x-1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 64x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=64\times 1=64$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-8 b=-8$$

שכתב את ‎64x^{2}-16x+1 כ- ‎\left(64x^{2}-8x\right)+\left(-8x+1\right).

$$\left(64x^{2}-8x\right)+\left(-8x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$8x\left(8x-1\right)-\left(8x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 8x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(8x-1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(64x^{2}-16x+1)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(64,-16,1)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 64x^{2}.

$$\sqrt{64x^{2}}=8x$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(8x-1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$64x^{2}-16x+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64}}{2\times 64}$$

‎-16 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64}}{2\times 64}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256}}{2\times 64}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-256.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±0}{2\times 64}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$x=\frac{16±0}{2\times 64}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎64.

$$x=\frac{16±0}{128}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{8} במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{8} במקום x_{2}.

$$64x^{2}-16x+1=64\left(x-\frac{1}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{8x-1}{8}\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{8x-1}{8}\times \frac{8x-1}{8}$$

הכפל את ‎\frac{8x-1}{8} ב- ‎\frac{8x-1}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)}{8\times 8}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎8.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)}{64}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎64 ב- ‎64 ו- ‎64.

$$64x^{2}-16x+1=\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)$$

הערך

$$\left(8x-1\right)^{2}$$