פתור את 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0.419262746+0.582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0.419262746-0.582961191i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 64 במקום a, ב- 24\sqrt{5} במקום b, וב- 33 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

‎24\sqrt{5} בריבוע.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

הכפל את ‎-256 ב- ‎33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

הוסף את ‎2880 ל- ‎-8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

הוצא את השורש הריבועי של -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-24\sqrt{5} ל- ‎8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

חלק את ‎-24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} ב- ‎128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8i\sqrt{87} מ- ‎-24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

חלק את ‎-24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} ב- ‎128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

החסר ‎33 משני אגפי המשוואה.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

החסרת 33 מעצמו נותנת 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

חילוק ב- ‎64 מבטל את ההכפלה ב- ‎64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

חלק את ‎24\sqrt{5} ב- ‎64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

חלק את ‎\frac{3\sqrt{5}}{8}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{3\sqrt{5}}{16}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{3\sqrt{5}}{16} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

‎\frac{3\sqrt{5}}{16} בריבוע.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

הוסף את ‎-\frac{33}{64} ל- ‎\frac{45}{256} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

פרק x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

פשט.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

החסר ‎\frac{3\sqrt{5}}{16} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$