פתור את 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

פרק לגורמים

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 64v^{2}+av+bv+9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 48.

$$a=24 b=24$$

שכתב את ‎64v^{2}+48v+9 כ- ‎\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8v בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 8v+3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(64,48,9)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

‎48 בריבוע.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

הכפל את ‎-256 ב- ‎9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎-2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{3}{8} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{3}{8} במקום x_{2}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{8} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

הוסף את ‎\frac{3}{8} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

הכפל את ‎\frac{8v+3}{8} ב- ‎\frac{8v+3}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎64 ב- ‎64 ו- ‎64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

הערך

$$\left(8v+3\right)^{2}$$