פתור את 64p^2-16p+1=0

$$64 p ^ { 2 } - 16 p + 1 = 0$$

פתור עבור p

$$p=\frac{1}{8}=0.125$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 64p^{2}+ap+bp+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=64\times 1=64$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-8 b=-8$$

שכתב את ‎64p^{2}-16p+1 כ- ‎\left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right).

$$\left(64p^{2}-8p\right)+\left(-8p+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 8p בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$8p\left(8p-1\right)-\left(8p-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 8p-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(8p-1\right)\left(8p-1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(8p-1\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 8p-1=0.

$$p=\frac{1}{8}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 64 במקום a, ב- -16 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64}}{2\times 64}$$

‎-16 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64}}{2\times 64}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎64.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256}}{2\times 64}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-256.

$$p=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$p=-\frac{-16}{2\times 64}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$p=\frac{16}{2\times 64}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎64.

$$p=\frac{16}{128}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{128} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$p=\frac{1}{8}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$64p^{2}-16p+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$64p^{2}-16p+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$64p^{2}-16p=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎64.

$$\frac{64p^{2}-16p}{64}=-\frac{1}{64}$$

חילוק ב- ‎64 מבטל את ההכפלה ב- ‎64.

$$p^{2}+\left(-\frac{16}{64}\right)p=-\frac{1}{64}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{64} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p=-\frac{1}{64}$$

חלק את ‎-\frac{1}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{64}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=\frac{-1+1}{64}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{64} ל- ‎\frac{1}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64}=0$$

פרק p^{2}-\frac{1}{4}p+\frac{1}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(p-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$p-\frac{1}{8}=0 p-\frac{1}{8}=0$$

הוסף ‎\frac{1}{8} לשני אגפי המשוואה.

$$p=\frac{1}{8} p=\frac{1}{8}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$p=\frac{1}{8}$$