פתור את 6y^2+19y+10

$$6 y ^ { 2 } + 19 y + 10$$

פרק לגורמים

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6y^{2}+ay+by+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=19 ab=6\times 10=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 19.

$$a=4 b=15$$

שכתב את ‎6y^{2}+19y+10 כ- ‎\left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right).

$$\left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2y בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2y\left(3y+2\right)+5\left(3y+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3y+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6y^{2}+19y+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

‎19 בריבוע.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-24\times 10}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎-240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$y=\frac{-19±11}{12}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-19±11}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-19 ל- ‎11.

$$y=-\frac{8}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$y=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-19±11}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-19.

$$y=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$y=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y+\frac{2}{3}\right)\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\times \frac{2y+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3y+2}{3} ב- ‎\frac{2y+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6y^{2}+19y+10=\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

הערך

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$