פתור את 6x^4-5x^3+7x^2-5x+1

$$6 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 7 x ^ { 2 } - 5 x + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$6x^{4}-5x^{3}+7x^{2}-5x+1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 6. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{6},±\frac{1}{3},±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{1}{3}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎6x^{4}-5x^{3}+7x^{2}-5x+1 ב- ‎3\left(x-\frac{1}{3}\right)=3x-1 כדי לקבל ‎2x^{3}-x^{2}+2x-1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -1 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2x^{3}-x^{2}+2x-1 ב- ‎2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 כדי לקבל ‎x^{2}+1. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$x^{2}+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

הפולינום x^{2}+1 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$x^{2}+1$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

הערך

$$\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$