פתור את 6x^2-x-40

$$6 x ^ { 2 } - x - 40$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6x^{2}+ax+bx-40. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-16 b=15$$

שכתב את ‎6x^{2}-x-40 כ- ‎\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±31}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎31.

$$x=\frac{32}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±31}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎31 מ- ‎1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{8}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6x^{2}-x-40=6\left(x-\frac{8}{3}\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

החסר את x מ- \frac{8}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{3x-8}{3}\times \frac{2x+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3x-8}{3} ב- ‎\frac{2x+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6x^{2}-x-40=6\times \frac{\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6x^{2}-x-40=\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

הערך

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$