פתור את 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎40 משני האגפים.

$$6x^{2}-x-40=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-40. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-16 b=15$$

שכתב את ‎6x^{2}-x-40 כ- ‎\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-8=0 ו- 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}-x=40$$

החסר ‎40 משני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

החסרת 40 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -40 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±31}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎31.

$$x=\frac{32}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±31}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎31 מ- ‎1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

חלק את ‎-\frac{1}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

הוסף את ‎\frac{20}{3} ל- ‎\frac{1}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

הוסף ‎\frac{1}{12} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$