פתור את 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-9 b=2$$

שכתב את ‎6x^{2}-7x-3 כ- ‎\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x ב- 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-3=0 ו- 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±11}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎11.

$$x=\frac{18}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±11}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎0.

$$6x^{2}-7x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{3}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

חלק את ‎-\frac{7}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

הוסף את ‎\frac{1}{2} ל- ‎\frac{49}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

הוסף ‎\frac{7}{12} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$