פתור את 6x^2-3x-45

$$6 x ^ { 2 } - 3 x - 45$$

פרק לגורמים

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 3.

$$3\left(2x^{2}-x-15\right)$$

שקול את 2x^{2}-x-15. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-6 b=5$$

שכתב את ‎2x^{2}-x-15 כ- ‎\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-3x-45=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-45.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1080}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎1080.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1089.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±33}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±33}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{3±33}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±33}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎33.

$$x=\frac{36}{12}$$

חלק את ‎36 ב- ‎12.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±33}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎33 מ- ‎3.

$$x=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎6 ו- ‎2.

$$6x^{2}-3x-45=3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

הערך

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$