פתור את 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2.858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0.524815261$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

חלק את ‎14+2\sqrt{103} ב- ‎12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{103} מ- ‎14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

חלק את ‎14-2\sqrt{103} ב- ‎12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$6x^{2}-14x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{9}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

חלק את ‎-\frac{7}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

הוסף את ‎\frac{3}{2} ל- ‎\frac{49}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

הוסף ‎\frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$