פתור את 6x^2+x-15=0

$$6 x ^ { 2 } + x - 15 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -90.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-9 b=10$$

שכתב את ‎6x^{2}+x-15 כ- ‎\left(6x^{2}-9x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(10x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-3=0 ו- 3x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}+x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- 1 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎360.

$$x=\frac{-1±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$x=\frac{-1±19}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-1±19}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±19}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎19.

$$x=\frac{18}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{18}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±19}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{20}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}+x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}+x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$6x^{2}+x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{15}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{15}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

חלק את ‎\frac{1}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎\frac{1}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

החסר ‎\frac{1}{12} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{3}$$