פתור את 6x+3y=-15text{and}-4x-3y=25

$$6 x + 3 y = - 15 \text { and } - 4 x - 3 y = 25$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=-15$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+3y=-15,-4x-3y=25$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+3y=-15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-3y-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y-15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-3y-15.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-5}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-4x-3y=25.

$$-4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}\right)-3y=25$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎\frac{-y-5}{2}.

$$2y+10-3y=25$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-3y.

$$-y+10=25$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$-y=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$y=-15$$

השתמש ב- ‎-15 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15\right)-\frac{5}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎-15.

$$x=\frac{15-5}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{2} ל- ‎\frac{15}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-15$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+3y=-15,-4x-3y=25$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-3\right)-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\25\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-15\right)+\frac{1}{2}\times 25\\-\frac{2}{3}\left(-15\right)-25\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=-15$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+3y=-15,-4x-3y=25$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎-4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$-4\times 6x-4\times 3y=-4\left(-15\right),6\left(-4\right)x+6\left(-3\right)y=6\times 25$$

פשט.

$$-24x-12y=60,-24x-18y=150$$

החסר את ‎-24x-18y=150 מ- ‎-24x-12y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-24x+24x-12y+18y=60-150$$

הוסף את ‎-24x ל- ‎24x. האיברים ‎-24x ו- ‎24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y+18y=60-150$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎18y.

$$6y=60-150$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-150.

$$6y=-90$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=-15$$

השתמש ב- ‎-15 במקום y ב- ‎-4x-3y=25. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-4x-3\left(-15\right)=25$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎-15.

$$-4x+45=25$$

החסר ‎45 משני אגפי המשוואה.

$$-4x=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=-15$$