פתור את 6v^2+17v+5

$$6 v ^ { 2 } + 17 v + 5$$

פרק לגורמים

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6v^{2}+av+bv+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=6\times 5=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=2 b=15$$

שכתב את ‎6v^{2}+17v+5 כ- ‎\left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right).

$$\left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2v בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2v\left(3v+1\right)+5\left(3v+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3v+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6v^{2}+17v+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$v=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

‎17 בריבוע.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎5.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-120.

$$v=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$v=\frac{-17±13}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$v=\frac{-17±13}{12}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-17±13}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-17 ל- ‎13.

$$v=-\frac{4}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$v=-\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה v=\frac{-17±13}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-17.

$$v=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$v=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v+\frac{1}{3}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{3} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎v על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\times \frac{2v+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3v+1}{3} ב- ‎\frac{2v+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6v^{2}+17v+5=\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

הערך

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$