פתור את 6r^2-11r+4

$$6 r ^ { 2 } - 11 r + 4$$

פרק לגורמים

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6r^{2}+ar+br+4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=6\times 4=24$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-8 b=-3$$

שכתב את ‎6r^{2}-11r+4 כ- ‎\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right).

$$\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2r בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$2r\left(3r-4\right)-\left(3r-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3r-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}-11r+4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

‎-11 בריבוע.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\times 4}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎4.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-96.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$r=\frac{11±5}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$r=\frac{11±5}{12}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{11±5}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎5.

$$r=\frac{16}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$r=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{11±5}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎11.

$$r=\frac{6}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$r=\frac{1}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{2}.

$$6r^{2}-11r+4=6\left(r-\frac{4}{3}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

החסר את r מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

החסר את r מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\times \frac{2r-1}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3r-4}{3} ב- ‎\frac{2r-1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6r^{2}-11r+4=\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

הערך

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$