פתור את 6r^2+29r-42

$$6 r ^ { 2 } + 29 r - 42$$

פרק לגורמים

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6r^{2}+ar+br-42. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=29 ab=6\left(-42\right)=-252$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -252.

$$-1,252 -2,126 -3,84 -4,63 -6,42 -7,36 -9,28 -12,21 -14,18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+252=251 -2+126=124 -3+84=81 -4+63=59 -6+42=36 -7+36=29 -9+28=19 -12+21=9 -14+18=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 29.

$$a=-7 b=36$$

שכתב את ‎6r^{2}+29r-42 כ- ‎\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right).

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right)$$

הוצא את הגורם המשותף r בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$r\left(6r-7\right)+6\left(6r-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 6r-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}+29r-42=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$r=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

‎29 בריבוע.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-24\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-42.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841+1008}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎841 ל- ‎1008.

$$r=\frac{-29±\sqrt{1849}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1849.

$$r=\frac{-29±43}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$r=\frac{-29±43}{12}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-29±43}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-29 ל- ‎43.

$$r=\frac{14}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{14}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$r=\frac{7}{6}$$

כעת פתור את המשוואה r=\frac{-29±43}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎43 מ- ‎-29.

$$r=-\frac{72}{12}$$

חלק את ‎-72 ב- ‎12.

$$r=-6$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{6} במקום x_{1} וב- ‎-6 במקום x_{2}.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-6\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+6\right)$$

החסר את r מ- \frac{7}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6r^{2}+29r-42=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+6\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6r^{2}+29r-42=\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

הערך

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$