פתור את 6p^2-35p+50

$$6 p ^ { 2 } - 35 p + 50$$

פרק לגורמים

$$\left(2p-5\right)\left(3p-10\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6p^{2}+ap+bp+50. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-35 ab=6\times 50=300$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -35.

$$a=-20 b=-15$$

שכתב את ‎6p^{2}-35p+50 כ- ‎\left(6p^{2}-20p\right)+\left(-15p+50\right).

$$\left(6p^{2}-20p\right)+\left(-15p+50\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2p בקבוצה הראשונה ואת -5 בקבוצה השניה.

$$2p\left(3p-10\right)-5\left(3p-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3p-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3p-10\right)\left(2p-5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6p^{2}-35p+50=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 6\times 50}}{2\times 6}$$

‎-35 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 6\times 50}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$p=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-24\times 50}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎50.

$$p=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎1225 ל- ‎-1200.

$$p=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$p=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-35 הוא ‎35.

$$p=\frac{35±5}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$p=\frac{35±5}{12}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{35±5}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎35 ל- ‎5.

$$p=\frac{40}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$p=\frac{10}{3}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{35±5}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎35.

$$p=\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$p=\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{10}{3} במקום x_{1} וב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$6p^{2}-35p+50=6\left(p-\frac{10}{3}\right)\left(p-\frac{5}{2}\right)$$

החסר את p מ- \frac{10}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6p^{2}-35p+50=6\times \frac{3p-10}{3}\left(p-\frac{5}{2}\right)$$

החסר את p מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6p^{2}-35p+50=6\times \frac{3p-10}{3}\times \frac{2p-5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3p-10}{3} ב- ‎\frac{2p-5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6p^{2}-35p+50=6\times \frac{\left(3p-10\right)\left(2p-5\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6p^{2}-35p+50=6\times \frac{\left(3p-10\right)\left(2p-5\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6p^{2}-35p+50=\left(3p-10\right)\left(2p-5\right)$$

הערך

$$\left(2p-5\right)\left(3p-10\right)$$