פתור את 6b^2+11b-35

$$6 b ^ { 2 } + 11 b - 35$$

פרק לגורמים

$$\left(3b-5\right)\left(2b+7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6b^{2}+pb+qb-35. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=11 pq=6\left(-35\right)=-210$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -210.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$p=-10 q=21$$

שכתב את ‎6b^{2}+11b-35 כ- ‎\left(6b^{2}-10b\right)+\left(21b-35\right).

$$\left(6b^{2}-10b\right)+\left(21b-35\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2b בקבוצה הראשונה ואת 7 בקבוצה השניה.

$$2b\left(3b-5\right)+7\left(3b-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3b-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3b-5\right)\left(2b+7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6b^{2}+11b-35=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$b=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\left(-35\right)}}{2\times 6}$$

‎11 בריבוע.

$$b=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\left(-35\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$b=\frac{-11±\sqrt{121-24\left(-35\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-35.

$$b=\frac{-11±\sqrt{121+840}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎840.

$$b=\frac{-11±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 961.

$$b=\frac{-11±31}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$b=\frac{-11±31}{12}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{-11±31}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎31.

$$b=\frac{20}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$b=\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה b=\frac{-11±31}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎31 מ- ‎-11.

$$b=-\frac{42}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-42}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$b=-\frac{7}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{7}{2} במקום x_{2}.

$$6b^{2}+11b-35=6\left(b-\frac{5}{3}\right)\left(b-\left(-\frac{7}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6b^{2}+11b-35=6\left(b-\frac{5}{3}\right)\left(b+\frac{7}{2}\right)$$

החסר את b מ- \frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6b^{2}+11b-35=6\times \frac{3b-5}{3}\left(b+\frac{7}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{7}{2} ל- ‎b על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6b^{2}+11b-35=6\times \frac{3b-5}{3}\times \frac{2b+7}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3b-5}{3} ב- ‎\frac{2b+7}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6b^{2}+11b-35=6\times \frac{\left(3b-5\right)\left(2b+7\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6b^{2}+11b-35=6\times \frac{\left(3b-5\right)\left(2b+7\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6b^{2}+11b-35=\left(3b-5\right)\left(2b+7\right)$$

הערך

$$\left(3b-5\right)\left(2b+7\right)$$