פתור את 6a^2+7a-20

$$6 a ^ { 2 } + 7 a - 20$$

פרק לגורמים

$$\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6a^{2}+pa+qa-20. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=7 pq=6\left(-20\right)=-120$$

מאחר ש- pq הוא שלילי, ל- p ול- q יש סימנים הפוכים. מאחר ש- p+q הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$p=-8 q=15$$

שכתב את ‎6a^{2}+7a-20 כ- ‎\left(6a^{2}-8a\right)+\left(15a-20\right).

$$\left(6a^{2}-8a\right)+\left(15a-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2a בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2a\left(3a-4\right)+5\left(3a-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3a-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6a^{2}+7a-20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

‎7 בריבוע.

$$a=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$a=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-20.

$$a=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎480.

$$a=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$a=\frac{-7±23}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$a=\frac{-7±23}{12}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-7±23}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎23.

$$a=\frac{16}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$a=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{-7±23}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-7.

$$a=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$a=-\frac{5}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{2} במקום x_{2}.

$$6a^{2}+7a-20=6\left(a-\frac{4}{3}\right)\left(a-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6a^{2}+7a-20=6\left(a-\frac{4}{3}\right)\left(a+\frac{5}{2}\right)$$

החסר את a מ- \frac{4}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{3a-4}{3}\left(a+\frac{5}{2}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{2} ל- ‎a על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{3a-4}{3}\times \frac{2a+5}{2}$$

הכפל את ‎\frac{3a-4}{3} ב- ‎\frac{2a+5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)}{3\times 2}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎2.

$$6a^{2}+7a-20=6\times \frac{\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6a^{2}+7a-20=\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$

הערך

$$\left(3a-4\right)\left(2a+5\right)$$