פתור את 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=1$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -6.

$$1,-6 2,-3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-6 b=1$$

שכתב את ‎6x^{2}-5x-1 כ- ‎\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6x ב- 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-1=0 ו- 6x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±7}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎7.

$$x=\frac{12}{12}$$

חלק את ‎12 ב- ‎12.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±7}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$6x^{2}-5x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

חלק את ‎-\frac{5}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

הוסף את ‎\frac{1}{6} ל- ‎\frac{25}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

הוסף ‎\frac{5}{12} לשני אגפי המשוואה.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$