פתור את 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-3 b=10$$

שכתב את ‎6x^{2}+7x-5 כ- ‎\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 2x-1=0 ו- 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -5 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎13.

$$x=\frac{6}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

הוסף ‎5 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

החסרת -5 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

החסר ‎-5 מ- ‎0.

$$6x^{2}+7x=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

חלק את ‎\frac{7}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

הוסף את ‎\frac{5}{6} ל- ‎\frac{49}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

החסר ‎\frac{7}{12} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$