פתור את 6x^2+7x-20=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-20=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx-20. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=6\left(-20\right)=-120$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-8 b=15$$

שכתב את ‎6x^{2}+7x-20 כ- ‎\left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right).

$$\left(6x^{2}-8x\right)+\left(15x-20\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$2x\left(3x-4\right)+5\left(3x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-4\right)\left(2x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-4=0 ו- 2x+5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- 7 במקום b, וב- -20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-20.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-7±23}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±23}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎23.

$$x=\frac{16}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{16}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±23}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{30}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-30}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-20=0$$

הוסף ‎20 לשני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}+7x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

החסרת -20 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-20\right)$$

החסר ‎-20 מ- ‎0.

$$6x^{2}+7x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{20}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{20}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{10}{3}$$

חלק את ‎\frac{7}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{7}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{7}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{7}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{10}{3}+\frac{49}{144}$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎\frac{49}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{529}{144}$$

פרק x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

פשט.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{23}{12}$$

החסר ‎\frac{7}{12} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{3} x=-\frac{5}{2}$$