פתור את 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 6x^{2}+ax+bx+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=2 b=9$$

שכתב את ‎6x^{2}+11x+3 כ- ‎\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x+1=0 ו- 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- 11 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±7}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±7}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎-11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-18}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-3}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

חלק את ‎\frac{11}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{121}{144} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

פרק x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

פשט.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

החסר ‎\frac{11}{12} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$