פתור את 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0.107142857+0.079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0.107142857-0.079859571i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 56 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

הוצא את השורש הריבועי של -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

חלק את ‎12+4i\sqrt{5} ב- ‎112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{5} מ- ‎12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

חלק את ‎12-4i\sqrt{5} ב- ‎112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

חילוק ב- ‎56 מבטל את ההכפלה ב- ‎56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{56} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

חלק את ‎-\frac{3}{14}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{28}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{28} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{28} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{56} ל- ‎\frac{9}{784} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

פרק x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

הוסף ‎\frac{3}{28} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$