פתור את 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

פתור עבור x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3.74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5.74341649$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

הכפל את ‎1+x ו- ‎1+x כדי לקבל ‎\left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 54 ב- 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

החסר ‎1215 משני האגפים.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

החסר את 1215 מ- 54 כדי לקבל -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 54 במקום a, ב- 108 במקום b, וב- -1161 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

‎108 בריבוע.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

הכפל את ‎-216 ב- ‎-1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

הוסף את ‎11664 ל- ‎250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

הוצא את השורש הריבועי של 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-108 ל- ‎162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

חלק את ‎-108+162\sqrt{10} ב- ‎108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎162\sqrt{10} מ- ‎-108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

חלק את ‎-108-162\sqrt{10} ב- ‎108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

הכפל את ‎1+x ו- ‎1+x כדי לקבל ‎\left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 54 ב- 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

החסר ‎54 משני האגפים.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

החסר את 54 מ- 1215 כדי לקבל 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

חלק את שני האגפים ב- ‎54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

חילוק ב- ‎54 מבטל את ההכפלה ב- ‎54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

חלק את ‎108 ב- ‎54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

צמצם את השבר ‎\frac{1161}{54} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

חלק את ‎2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

‎1 בריבוע.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

הוסף את ‎\frac{43}{2} ל- ‎1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

פרק x^{2}+2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

פשט.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$