פתור את 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎53 ב- a, את ‎5 ב- b ואת ‎-12 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} ו- ‎x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} הוא שלילי.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} הוא חיובי ו- ‎x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} הוא שלילי.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$