פתור את 52z^2-43z+3

$$52 z ^ { 2 } - 43 z + 3$$

פרק לגורמים

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 52z^{2}+az+bz+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-43 ab=52\times 3=156$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 156.

$$-1,-156 -2,-78 -3,-52 -4,-39 -6,-26 -12,-13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-156=-157 -2-78=-80 -3-52=-55 -4-39=-43 -6-26=-32 -12-13=-25$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -43.

$$a=-39 b=-4$$

שכתב את ‎52z^{2}-43z+3 כ- ‎\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right).

$$\left(52z^{2}-39z\right)+\left(-4z+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 13z בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$13z\left(4z-3\right)-\left(4z-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 4z-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$52z^{2}-43z+3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

‎-43 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 52\times 3}}{2\times 52}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎52.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-208\times 3}}{2\times 52}$$

הכפל את ‎-208 ב- ‎3.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-624}}{2\times 52}$$

הוסף את ‎1849 ל- ‎-624.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1225}}{2\times 52}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1225.

$$z=\frac{-\left(-43\right)±35}{2\times 52}$$

ההופכי של ‎-43 הוא ‎43.

$$z=\frac{43±35}{2\times 52}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎52.

$$z=\frac{43±35}{104}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{43±35}{104} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎43 ל- ‎35.

$$z=\frac{78}{104}$$

צמצם את השבר ‎\frac{78}{104} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 26.

$$z=\frac{3}{4}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{43±35}{104} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎35 מ- ‎43.

$$z=\frac{8}{104}$$

צמצם את השבר ‎\frac{8}{104} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$z=\frac{1}{13}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{4} במקום x_{1} וב- ‎\frac{1}{13} במקום x_{2}.

$$52z^{2}-43z+3=52\left(z-\frac{3}{4}\right)\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

החסר את z מ- \frac{3}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\left(z-\frac{1}{13}\right)$$

החסר את z מ- \frac{1}{13} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{4z-3}{4}\times \frac{13z-1}{13}$$

הכפל את ‎\frac{4z-3}{4} ב- ‎\frac{13z-1}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{4\times 13}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎13.

$$52z^{2}-43z+3=52\times \frac{\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)}{52}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎52 ב- ‎52 ו- ‎52.

$$52z^{2}-43z+3=\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$

הערך

$$\left(4z-3\right)\left(13z-1\right)$$