פתור את 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

החסרת 12 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

החסר ‎12 מ- ‎5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- -1 במקום a, ב- 3 במקום b, וב- -7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎3 בריבוע.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎-28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-3 ל- ‎i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

חלק את ‎-3+i\sqrt{19} ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{19} מ- ‎-3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

חלק את ‎-3-i\sqrt{19} ב- ‎-2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

החסרת 5 מעצמו נותנת 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

החסר ‎5 מ- ‎12.

$$-x^{2}+3x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

חילוק ב- ‎-1 מבטל את ההכפלה ב- ‎-1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎3 ב- ‎-1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

חלק את ‎7 ב- ‎-1.

$$x^{2}-3x=-7$$

חלק את ‎-3, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

הוסף את ‎-7 ל- ‎\frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

פרק x^{2}-3x+\frac{9}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

הוסף ‎\frac{3}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$