פתור את 5z^2+19z+12

$$5 z ^ { 2 } + 19 z + 12$$

פרק לגורמים

$$\left(z+3\right)\left(5z+4\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5z^{2}+az+bz+12. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=19 ab=5\times 12=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 19.

$$a=4 b=15$$

שכתב את ‎5z^{2}+19z+12 כ- ‎\left(5z^{2}+4z\right)+\left(15z+12\right).

$$\left(5z^{2}+4z\right)+\left(15z+12\right)$$

הוצא את הגורם המשותף z בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$z\left(5z+4\right)+3\left(5z+4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5z+4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5z+4\right)\left(z+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5z^{2}+19z+12=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

‎19 בריבוע.

$$z=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 5\times 12}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$z=\frac{-19±\sqrt{361-20\times 12}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎12.

$$z=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎361 ל- ‎-240.

$$z=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$z=\frac{-19±11}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$z=\frac{-19±11}{10}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-19±11}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-19 ל- ‎11.

$$z=-\frac{8}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$z=-\frac{4}{5}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{-19±11}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-19.

$$z=-\frac{30}{10}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎10.

$$z=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{4}{5} במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$5z^{2}+19z+12=5\left(z-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(z-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5z^{2}+19z+12=5\left(z+\frac{4}{5}\right)\left(z+3\right)$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎z על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5z^{2}+19z+12=5\times \frac{5z+4}{5}\left(z+3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5z^{2}+19z+12=\left(5z+4\right)\left(z+3\right)$$

הערך

$$\left(z+3\right)\left(5z+4\right)$$