פתור את 5y^2-9y-18

$$5 y ^ { 2 } - 9 y - 18$$

פרק לגורמים

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5y^{2}+ay+by-18. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-9 ab=5\left(-18\right)=-90$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -9.

$$a=-15 b=6$$

שכתב את ‎5y^{2}-9y-18 כ- ‎\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(6y-18\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5y בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$5y\left(y-3\right)+6\left(y-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}-9y-18=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

‎-9 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\left(-18\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-18.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎360.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$y=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-9 הוא ‎9.

$$y=\frac{9±21}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$y=\frac{9±21}{10}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{9±21}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎9 ל- ‎21.

$$y=\frac{30}{10}$$

חלק את ‎30 ב- ‎10.

$$y=3$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{9±21}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎9.

$$y=-\frac{12}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{6}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{6}{5} במקום x_{2}.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\left(y+\frac{6}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{6}{5} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5y^{2}-9y-18=5\left(y-3\right)\times \frac{5y+6}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5y^{2}-9y-18=\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$

הערך

$$\left(y-3\right)\left(5y+6\right)$$