פתור את 5y^2-8y+24=0

$$5 y ^ { 2 } - 8 y + 24 = 0$$

פתור עבור y

$$y=\frac{4+2\sqrt{26}i}{5}\approx 0.8+2.039607805i$$

$$y=\frac{-2\sqrt{26}i+4}{5}\approx 0.8-2.039607805i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5y^{2}-8y+24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- 24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\times 24}}{2\times 5}$$

‎-8 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\times 24}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\times 24}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎24.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-480}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-480.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-416}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של -416.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{26}i}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$y=\frac{8±4\sqrt{26}i}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$y=\frac{8±4\sqrt{26}i}{10}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{8±4\sqrt{26}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎4i\sqrt{26}.

$$y=\frac{8+4\sqrt{26}i}{10}$$

חלק את ‎8+4i\sqrt{26} ב- ‎10.

$$y=\frac{4+2\sqrt{26}i}{5}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{8±4\sqrt{26}i}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{26} מ- ‎8.

$$y=\frac{-4\sqrt{26}i+8}{10}$$

חלק את ‎8-4i\sqrt{26} ב- ‎10.

$$y=\frac{-2\sqrt{26}i+4}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=\frac{4+2\sqrt{26}i}{5} y=\frac{-2\sqrt{26}i+4}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-8y+24=0$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$5y^{2}-8y+24-24=-24$$

החסרת 24 מעצמו נותנת 0.

$$5y^{2}-8y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5y^{2}-8y}{5}=-\frac{24}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y=-\frac{24}{5}$$

חלק את ‎-\frac{8}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{24}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}=-\frac{24}{5}+\frac{16}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{24}{5} ל- ‎\frac{16}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25}=-\frac{104}{25}$$

פרק y^{2}-\frac{8}{5}y+\frac{16}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{104}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{104}{25}}$$

פשט.

$$y-\frac{4}{5}=\frac{2\sqrt{26}i}{5} y-\frac{4}{5}=-\frac{2\sqrt{26}i}{5}$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{4+2\sqrt{26}i}{5} y=\frac{-2\sqrt{26}i+4}{5}$$