פתור את 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

פתור עבור y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5y^{2}+ay+by-36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-15 b=12$$

שכתב את ‎5y^{2}-3y-36 כ- ‎\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5y בקבוצה הראשונה ואת 12 בקבוצה השניה.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את y-3=0 ו- 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -3 במקום b, וב- -36 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

‎-3 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{3±27}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎27.

$$y=\frac{30}{10}$$

חלק את ‎30 ב- ‎10.

$$y=3$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{3±27}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27 מ- ‎3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{12}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

הוסף ‎36 לשני אגפי המשוואה.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

החסרת -36 מעצמו נותנת 0.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

החסר ‎-36 מ- ‎0.

$$5y^{2}-3y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

חלק את ‎-\frac{3}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{3}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{3}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

הוסף את ‎\frac{36}{5} ל- ‎\frac{9}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

פרק y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

פשט.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

הוסף ‎\frac{3}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$