פתור את 5y^2+9y-14

$$5 y ^ { 2 } + 9 y - 14$$

פרק לגורמים

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5y^{2}+ay+by-14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=9 ab=5\left(-14\right)=-70$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -70.

$$-1,70 -2,35 -5,14 -7,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+70=69 -2+35=33 -5+14=9 -7+10=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 9.

$$a=-5 b=14$$

שכתב את ‎5y^{2}+9y-14 כ- ‎\left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right).

$$\left(5y^{2}-5y\right)+\left(14y-14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5y בקבוצה הראשונה ואת 14 בקבוצה השניה.

$$5y\left(y-1\right)+14\left(y-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף y-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+9y-14=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

‎9 בריבוע.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 5\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81-20\left(-14\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-14.

$$y=\frac{-9±\sqrt{81+280}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎81 ל- ‎280.

$$y=\frac{-9±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$y=\frac{-9±19}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$y=\frac{-9±19}{10}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-9±19}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-9 ל- ‎19.

$$y=\frac{10}{10}$$

חלק את ‎10 ב- ‎10.

$$y=1$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-9±19}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎-9.

$$y=-\frac{28}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-28}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{14}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{14}{5} במקום x_{2}.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y-\left(-\frac{14}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\left(y+\frac{14}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{14}{5} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5y^{2}+9y-14=5\left(y-1\right)\times \frac{5y+14}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5y^{2}+9y-14=\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$

הערך

$$\left(y-1\right)\left(5y+14\right)$$