פתור את 5y^2+27y+10

$$5 y ^ { 2 } + 27 y + 10$$

פרק לגורמים

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5y^{2}+ay+by+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=27 ab=5\times 10=50$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 50.

$$1,50 2,25 5,10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+50=51 2+25=27 5+10=15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 27.

$$a=2 b=25$$

שכתב את ‎5y^{2}+27y+10 כ- ‎\left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right).

$$\left(5y^{2}+2y\right)+\left(25y+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$y\left(5y+2\right)+5\left(5y+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5y+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+27y+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

‎27 בריבוע.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-20\times 10}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎10.

$$y=\frac{-27±\sqrt{729-200}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎729 ל- ‎-200.

$$y=\frac{-27±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 529.

$$y=\frac{-27±23}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$y=\frac{-27±23}{10}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-27±23}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-27 ל- ‎23.

$$y=-\frac{4}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=-\frac{2}{5}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{-27±23}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎23 מ- ‎-27.

$$y=-\frac{50}{10}$$

חלק את ‎-50 ב- ‎10.

$$y=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{5} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(y-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5y^{2}+27y+10=5\left(y+\frac{2}{5}\right)\left(y+5\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎y על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$5y^{2}+27y+10=5\times \frac{5y+2}{5}\left(y+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎5 ו- ‎5.

$$5y^{2}+27y+10=\left(5y+2\right)\left(y+5\right)$$

הערך

$$\left(y+5\right)\left(5y+2\right)$$