פתור את 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=1$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{2y+1}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

החסר ‎\frac{3}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{31}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

פשט.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

החסר את ‎15x+25y=65 מ- ‎15x-6y=3 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-25y=3-65$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-25y.

$$-31y=3-65$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-65.

$$-31y=-62$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-31.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x+5y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+5\times 2=13$$

הכפל את ‎5 ב- ‎2.

$$3x+10=13$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=2$$