פתור את 5x^3+3x^2+3x+5=0

$$5 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 3 x + 5 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{6}i}{5}\approx 0.2+0.979795897i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i+1}{5}\approx 0.2-0.979795897i$$

$$x=-1$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 5. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1,±5,±\frac{1}{5}$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎5x^{3}+3x^{2}+3x+5 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎5x^{2}-2x+5. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$5x^{2}-2x+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎5 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎5 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-96}}{10}$$

פתור את המשוואה ‎5x^{2}-2x+5=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{-2i\sqrt{6}+1}{5} x=\frac{1+2i\sqrt{6}}{5}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1 x=\frac{-2i\sqrt{6}+1}{5} x=\frac{1+2i\sqrt{6}}{5}$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 5. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±1,±5,±\frac{1}{5}$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-1$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎5x^{3}+3x^{2}+3x+5 ב- ‎x+1 כדי לקבל ‎5x^{2}-2x+5. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$5x^{2}-2x+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎5 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎5 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±\sqrt{-96}}{10}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-1$$