פתור את 5x^2-8x-13=0

$$5 x ^ { 2 } - 8 x - 13 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 5x^{2}+ax+bx-13. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -65.

$$1,-65 5,-13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -8.

$$a=-13 b=5$$

שכתב את ‎5x^{2}-8x-13 כ- ‎\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right).

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 5x^{2}-13x.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-13 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5x-13=0 ו- x+1=0.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 5 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -13 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 5\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 5\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-20\left(-13\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-13.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+260}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎260.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±18}{2\times 5}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±18}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{8±18}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±18}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎18.

$$x=\frac{26}{10}$$

צמצם את השבר ‎\frac{26}{10} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{13}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±18}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎8.

$$x=-\frac{10}{10}$$

חלק את ‎-10 ב- ‎10.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

הוסף ‎13 לשני אגפי המשוואה.

$$5x^{2}-8x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

החסרת -13 מעצמו נותנת 0.

$$5x^{2}-8x=-\left(-13\right)$$

החסר ‎-13 מ- ‎0.

$$5x^{2}-8x=13$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$\frac{5x^{2}-8x}{5}=\frac{13}{5}$$

חילוק ב- ‎5 מבטל את ההכפלה ב- ‎5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

חלק את ‎-\frac{8}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

הוסף את ‎\frac{13}{5} ל- ‎\frac{16}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$